안녕하세요! 대치동 손대장 손아름입니다.

지난 칼럼을 쓰고 나서 몇 십번은 다시 읽어본 것 같아요.

평소에 유튜브 방송에서도 늘 강조해왔던 부분이라 글을 참 쉽게 써지지 않을까 생각했는데 역시나 글은 말보다 쉽지 않더라고요. 그래서 몇 번이나 글을 고치고 다듬고 했는데도 강조해야 하는 부분이 명확하게 드러나지 않는 것 같아서 결국 중등과정 칼럼에서보다 몇 배는 더 강한 어조로 말씀드리는 방향으로 선회하게 되었습니다. 글이 서툰 자의 최후의 선택이었구나 너그러이 생각해주세요 ^^;;

말 나온 김에 지난 칼럼 서두에서 강조했던 부분을 다시 한 번 말씀드리고 시작할까 합니다.

고등공통과정은 버릴 단원, 버릴 개념이 하나도 없다. 모든 내용이 금은보화이며 피와 살이다.

기초적인 다항식에 대한 접근, 그리고 방정식, 부등식, 함수에 대한 치열한 개념탐구, 심화 개념까지 파고드는 자세, 버퍼링없는 유형 문제풀이, 완전히 이해될 때까지 반복해서 풀이하는 심화문제 학습까지 전제되어야 향후 진행될 고등 내용에 있어서 본 게임을 진행해볼 수 있는 경쟁력을 가질 수 있다. 자다 덜 깬 상태에서라도 술술 풀 수 있는 정도로 완성해야 한다.

자, 오늘은 고등 공통과정 중 방정식, 부등식에 대한 이야기를 나눠보려 합니다.

수능 범위에 해당하는 내용 중에서는 수 많은 방정식 및 부등식 내용을 찾아볼 수 있습니다.

지수방정식, 지수부등식, 로그방정식, 로그부등식, 삼각방정식, 삼각부등식, 수열과 시그마를 활용한 방정식 및 부등식, 미분과 적분을 활용한 방정식 및 최대최소까지... 크게 봐서 이 정도지만 세밀하게 들어가면 그 면면의 활용도가 엄청나지요.

대수의 시작이자 끝은 방정식과 부등식, 그리고 함수니까요.

이 방정식과 부등식을 잘 받아들일 수 있도록 하기 위해 중등 과정에서는 매년 1학기 과정에범위를 조금씩 나눠서 일차방정식 한번, 일차부등식 한번, 일차함수 한번, 이차방정식 한번... 이렇게 쪼개어 체하지 않도록 조심스레 넣어주었습니다. 그리고는 고등 공통과정에서 한 번 더 매너를 발휘합니다. 바로 다음 단계로 넘어가지 않고 그동안 조심스럽게 넣어준 내용들을 다시 한 번 꺼내어 확인할 수 있도록 하는 온정을 베푸는 거죠.

그래서 고등 공통과정에서는 중등과정에서 했던 내용들을 토대로 하여 그 과정에서부터 조금 더 발전된 내용들까지를 제시합니다. 단원명도 중등 때의 그것과 거의 유사합니다.

중등에서는 기본적인 방정식의 성질부터 시작해서 단순한 형태의 일차방정식, 연립일차방정식, 이차방정식을 배웠습니다. 방정식은 기본적으로 등식에서 출발한 것이기 때문에 좌변과 우변을 똑같이 변형하기만 하면 됩니다. 하지만 부등식은 좌변과 우변에 크기 차이가 있기 때문에 양변을 똑같이 변형한다 하더라도 상대적인 크기에 변화가 생길 수 있는 경우가 잦고, 때문에 경우를 나누어 고려해야 할 것들이 방정식에 비해 많아집니다. 그렇기에 중등과정은 일차부등식에 집중하여 부등식의 기본 성질을 익숙하게 받아들일 수 있도록 하는 것에 포커스를 맞추고 있습니다.

그렇다면 고등에서는 이것들이 어떻게 확장이 되고 있을까요?

표면적으로 고등 공통과정에서 다뤄지는 방정식과 부등식이라는 것은 3차 방정식까지. 그리고 2차 부등식까지인 것처럼 보입니다. 하지만 실제 문제들을 살펴보면 n차방정식, n차부등식까지 쭉쭉 확장을 해나가야 하는 것이 관건이기에 ‘조금 고생스럽다 싶더라도 교과 수준을 상회하는 수준까지 학습을 이어가는 것이 바람직하다.’라고 말씀드릴 수 있습니다.

특히나 다항함수에서의 방정식, 부등식을 깊이 있게 다루어야 향후 수능공통범위라 할 수 있는 고등 수학 범위에서의 다양한 방정식, 부등식에 있어서 시야가 키워지게 됩니다.

중등 수준으로 유형문제 좀 풀고 익숙해졌다 싶으면 바로 다음 단원으로 넘어가고, 넘어가고... 그렇게 하다보면 손에 남는 것이 거의 없게 됩니다.

수능 간접범위라 할 수 있는 고1 공통수학의 경우 중등 대수에서 다루었던 전체 내용을 포괄함과 동시에 중등에서는 차마 한번에 깊이있게 들어가지 못했던 내용들까지 살을 붙여서 한번에 쏟아져내립니다. 거기에 생소한 개념들까지 얹어지게 되구요.

그러면 아무래도 중등에서 학습했던 내용은 상대적으로 익숙하다 생각하게 되겠지요?

그 상황에서 적당한 개념 유형 수준의 문제만 풀다보면 스스로 ‘아, 나는 고등수학에 꽤 재능이 있는 것 같아.’ 혹은 ‘새로운 개념은 역시 어렵긴 하지만 중등에서 배운건 할만 하구나. 이건 빨리 넘어가고 새로운걸 익히는데 전념하자.’라는 오판을 내리기도 합니다.

스스로가 갈피를 잡기 어려워서 어리숙한 판단을 내리게 되면 향후 과정에서 맥을 못추는 경우가 많아요. 그래서 늘 말씀드리곤 합니다.

아무리 수능 간접범위에 해당한다 하더라도, 고등 1학년 때의 내신과목에 불과하다 하더라도 이게 앞으로의 모든 수학 과정에 촘촘히 강력하게 영향을 미칠 과목이라고.

그러니 이 변별력의 시작점인 고등 공통과정만큼은 ‘선생님만큼 잘 가르칠 수 있는 수준까지 공부해야 한다.’라고요. 그 정도로 시간을 들여서 기본부터 제대로 정리해서 심화까지 파고내려가야 합니다. 특히나 대수의 핵심 트리오는 누가 뭐래도 방정식, 부등식, 함수인데. 고등 공통과정에서의 힘을 길러내는 것에 온 힘을 쏟아야 합니다.

물론 이 과정을 누군가는 수월하고 빠르게 진행할 수도 있고, 누군가는 고등학생 시절의 저처럼 이해가 느리고 문제풀이 속도가 받쳐주지 않아서 오랜 시간을 들여서 완성해야 하는 경우도 있을 것입니다. 그 차이를 인정하고 속도보다는 완성도에 집중을 해야 함이 절대적으로 필요합니다. 특히 고등 공통과정 중에서도 방정식, 부등식에 해당하는 영역이 모두 그러합니다.

지금부터는 완성도를 높일 수 있는 고등 N차 방정식과 부등식 필살 학습법에 대해 현실적인 팁을 잘 묶어서 소개해드리도록 하겠습니다.

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■ 개념정리는 반드시 정확하게. 노트 만들어서 스스로 설명할 수 있는 수준까지

- 이 부분은 습관적인 부분이 강한 영역이다. 초중수학을 학습할 때 개념을 대강 훑고 문제풀이의 양을 늘려서 성취도를 확보했던 경우라면 이런 학습을 계속해서 이어갈 가능성이 높다.

특히나 다항식을 활용한 방정식 및 부등식은 중등에서 연계된 부분이 많아 ‘내가 이것을 잘 알고 있다.’는 착각에 휩싸여 정말 번갯불에 콩 구워먹듯 개념은 대충 넘겨버리고 문제풀이로 달려드는 경우가 많은데 제발 그런 방식은 지양하기를 간절히 바라는 바이다.

- 일반 학원에서도 강사에 따라 개념설명의 수준이 천지차이로 벌어질 수 있다. 그리고 개념의 중요성에 대해서 생각하고 있는 차이가 클 수도 있으며. 학원의 시스템이 단기간 내 성취도를 올리기 위해 문제풀이를 좀 더 강조하는 경우일수도 있다. 어찌되었건 그건 그들의 사정이고. 우리 아이들이 이 과정을 진행함에 있어서 가장 필요한 것은 ‘중등에서 고등으로 확장되는 시야를 열어줄 수 있는 논리적이고 정확한 개념 설명’임을 잊지 않아야 한다.

- 그런 의미에서 검증된 강사의 확실하게 믿고 들을 수 있는 개념 설명 강의는 꼭 하나 보험처럼 확보해서 듣는 것이 좋다. 물론 내 아이를 직접 가르쳐주고 계신 선생님이라면 더 바랄 것이 없겠지만 모든 것이 딱 맞아 떨어지기는 쉽지 않다. 이 경우 가장 좋은 해결책은 ‘인강’이다. 대형으로 인강을 제작하는 메가스터디, 이투스 등의 사이트를 이용하면 강의 신뢰도 측면을 제고할 수 있고, 상대적으로 강사 풀이 크다보니 내 아이에게 잘 맞는 선생님을 찾을 확률도 높다. 개념강의에 있어서 오류가 있을 확률 또한 적고, 향후 고등 과정을 고려한 꼼꼼한 커리큘럼을 고려해볼 수도 있다. 자기주도학습이 가능한 아이들은 일방형 수업인 대형 인강도 좋겠지만 그런 학습 조절능력이 부족하여 푸쉬가 필요한 경우라면 실시간으로 진행하는 온라인 개념 수업을 통해서 최소한의 학습점검 및 루틴한 학습을 이어갈 수 있도록 하는 것이 바람직하다. 코로나 이후 장비를 갖추고 개인 온라인 수업을 전국적으로 진행하는 선생님들이 점차 많아지고 있는 추세지만 아직은 누군가가 적극적으로 강의력을 개런티해주는 것이 아니기에 이미 수업을 진행해보신 분들을 통해서 정보를 전달받아야 하는 번거로움이 있다.

각각의 장단점이 있지만 아직은 대형 인강의 개념수업이 가장 바람직하며, 개인 온라인 강의로 이미 강의능력을 인정받은 분들은 자신의 개념강의 및 문제풀이 영상을 각종 SNS에 자신있게 공개하는 경우가 많으니 그 컨텐츠를 아이와 함께 보고 판단하시는 것이 현명하다.

- 개념강의를 들을 때는 소극적인 태도로 듣는 귀만 쫑긋해서 열심히 듣는 것에만 집중하고 할 일을 다 했다는 괜한 뿌듯함에 사로잡히는 학생들이 많다. 개념강의를 들을 때는 1시간 강의를 듣는다면 적어도 2시간은 봐야 정상이다. 총 러닝타임이 1시간, (빨리 듣기로 보는 아이들은 제대로 들을 리가 만무하다.) 이해 안가는 부분 다시 되돌려서 반복해서 듣는 시간, 그리고 잠시 멈추고 필기 정리하는 시간까지. 2배의 시간이 걸리는 것이 최소한이다.

필자는 현재 하는 모든 현강을 녹화를 하고 있는데, 일방적인 문제풀이 해제 수업을 제외하면 3시간 수업을 개념설명을 하고, 아이들이 이해 할 때까지 반복해서 설명하고, 중요한 내용들의 필기시간을 주고... 그렇게 하다보면 3시간 풀로 강의를 하더라도 실제 영상은 1시간 남짓 나올때가 많다. 녹화 시간이 아무리 길어야 1시간 30분.

그러니 적극적으로 들어야 한다. 강의노트가 제공되는 수업이라 하더라도 예쁜 강의노트 믿고 팔짱낀 채 감상하듯 강의 들으려 하지 말고 적극적으로 현강 듣듯이 노트하면서 들어야 한다.

이렇게 한땀 한땀 개념노트를 만들고 문제풀이 하다 막히는 부분이 있으면 다시 노트를 확인하고, 부족한 내용들을 다시 채워넣고. 하는 이상적인 과정을 학습습관의 목표로 삼아야 한다.

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■ 기본적인 필수 유형 문제들은 그 문제의 풀이 논리를 완벽하게 이해할 때까지 반복할 것

보통 기본정석, 개념원리, 수학의 바이블 등의 기본서라 불리는 문제집들을 펼쳐놓고 살펴보면 기본문제, 기본문제와 꼭 닮은 유제, 그리고 좀더 발전된 형태의 생각을 요하는 연습문제 등의 순으로 비슷비슷하게 구성되어 있다. 문제를 하나하나 뜯어보면 아주 놀랍게도... ‘여러분, 똑같은 문제집이세요?’ 라는 생각이 들 정도로 유사한 문항이 대부분이다.

왜 같을까? 결도 같고 문제도 대동소이. 왜 그럴까?

중요하니까. 이게 핵심이니까. 이 과정에서 꼭 익혀야 할 필수적인 정수를 담은 것이니까.

그런만큼 그 문제들은 필수 유형이라고 부를 가치가 충분하며, 그런 문제는 시험에 나와서 열심히 공부해야 하는 문제가 아닌, 기본기를 기르기 위한 필수 단계로 인식하고 다져야 한다.

작물을 기를 때 토지에 힘을 충분히 보충해주기 위해 사전에 미리 조금씩 나누어 거름을 뿌리듯이 바탕이 되는 힘을 기르기 위한 작업은 그 효과가 당장에 보이지는 않지만 결실을 얻어야 하는 그 때에 비로소 위력을 발휘한다. 필수 문제들은 그 문제의 풀이 논리가 완벽하게 뼈에 음각으로 새겨질 때까지 수 차례 고민해서 머리에 차곡히 정리해 넣어야 한다.

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■ 문제집 선택 가이드

- 중등에서도 성취도가 높지 않았다, 고등수학 초반에도 어려움이 있었다면 위에서 언급한 기본 개념을 익히고 난 뒤, 기본 문제를 단단하게 반복할 수 있는 연산서를 병행하는 것이 바람직하다. 보통 수력충전을 가장 많이 사용하는 편이고 고등 공통과정 방정식 및 부등식에 특화된 교재로 가장 추천하는 것은 빅터연산. 양 엄지손가락을 치켜드는 정말 좋은 책이다.

- 기본정석, 개념원리, 수학의 바이블과 같은 기본서를 하나 선택하여 완습이 되도록 차분하게 마무리하는 것이 필수적으로 따라주어야 한다. 속도보다는 완성도에 주안점을 두기! 다만 하염없이 늘어져서 하는 둥 마는 둥 하라는 것이 아니라 속도의 늪에 빠지지 말라는 이야기!

- 선행이라면 중등심화서와 병행하면서 진행하는 것이 바람직하다. 특히 중2-1과 3-1의 방정식과 부등식 파트를 같이 병행하면 고등에서 다소 부족하게 진행되는 활용파트에 대한 보완이 이루어질 수 있다. 시간적인 여유가 부족하다면 고등에 집중하는 것이 맞겠지만 다른 스케줄을 고려했을 때, 일주일에 2시간이라도 시간을 낼 수 있다면 중등심화와 병행하는 것이 바람직하다. 고등개념을 가지고 중등 문제를 바라보는 시야의 힘을 느끼게 될 수 있다.

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■ 오답정리와 반복의 미학

- 번거롭더라도 따로 풀이노트를 쓰면서 문제집에는 오답문항에만 선명하게 체크할 수 있도록 하는 것이 좋다. 책 자체가 오답노트가 되도록 만드는 것이다. 하지만 노트 관리가 안되는 경우이거나 번잡한걸 못견디는 경우라면 책에 직접 풀이를 하더라도 반드시 오답만큼은 선명하게 잘 보이도록 체크를 해야 한다. 고등 공통과정의 N차 방정식과 부등식은 완습에 가깝도록 [반복에 반복을 통해 강사처럼 원활하게 가르칠 수 있는 수준에 도달하는 것]을 목표로 삼아야 하는데, 이 과정에서 수많은 문제를 푸는 것보다 나의 오답을 거듭해서 반복하는 것이 훨씬 효과적이다. 생산성 측면에서 효율을 기해야 할 때에 내 오답을 반복해서 보는 것 만큼의 첩경은 없다.

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지금까지 고등 공통과정에서 두 번째 단추에 해당하는 [N차 방정식 및 부등식에 대한 이해]를 테마로 다양한 이야기를 나눠보았습니다. 이 부분만큼은 새롭게 배우는 내용이 극히 드물기에, 문제풀이의 늪에 빠지기 쉬워서 헛발질을 하는 경우가 많아 특히나 개념을 더더욱 강조해서, 많은 지면을 할애하여 말씀드렸습니다.

제가 입시를 치르면서 알게 되었던, 개인적으로 아쉬웠던 그런 극히 개인적인 경험에서 비롯된 생각을 칼럼에서 말씀드릴 수는 없지요. 어느덧 20년 가까이 되는 강의에서 진하게 우러나오는 경험임을 생각해주셨으면 합니다.

이렇게 하면 좋다는 것은 누구나 알지요. 어떤 분들은 이것조차도 너무 느슨한 것 아니냐고 생각하실 수도 있습니다. 하지만 생각과 현실이 항상 일치하지는 않죠.

좋다는 것은 알더라도...

절대로. 모두가 이렇게 공부하지 않습니다.

이것이 고등공통과정의 기본 중의 기본인데 말입니다.

기본을 갖추는 것이 얼마나 힘든 일인지, 그래서 시작이 반이라는 말이 있는 건 아닐까 하는 생각도 합니다. 그리고 그 기본을 힘겹게 힘겹게 장착한 아이들이 향후 과정에서 눈부신 발전을 이어갈 자격을 갖게 됩니다.

그래서 지난 칼럼에서 말씀드렸듯 이 칼럼을 학부모님들께서만 보실 것이 아니라 학생들이 꼭 보았으면 좋겠다고 말씀드렸던 것이구요.

결국에 칼럼을 쓰는 저도, 그리고 이 칼럼을 읽는 학부모님도. 우리의 존재는 조력자일 뿐, 무대의 주인공은 우리 아이들 아닐까요. 그 아이들이 동력을 가져야 하기에.

내가 어떤 것을 해야 하는지. 내가 지금 무엇을 잘하고 있고, 무엇이 부족한지.

스스로 알고 스스로 채워나가는 인재들로 성장했으면 좋겠습니다.

그것이 진짜 공부니까요.

다음 칼럼에서 만나뵙겠습니다!

이상, 대치동 손대장, 손아름이었습니다!

손아름 원장의 <초등부터 고등까지 성공하는 수학 공부법> 시리즈

▶ 초3~4 :: 수학 첫 단추를 꿰는 시기

▶ 초5~6 :: 초등 고학년 수학을 위한 십계명

▶ 중1 :: 응용연습 착실히 했다면 탄탄대로!

▶ 중2-1 :: 완벽한 고등 수학을 위한 첫 발자국

▶ 중2-1 :: 수학 단원별 공략법

▶ 중2-2 :: 고등까지 두고두고 써먹는 중등 기하

▶ 중2-2 :: 수학 단원별 공략법

▶ 중3-1 :: 이 과정에서 반드시 갖춰야 하는 세 가지 힘

▶ 중3-1 :: 수학 단원별 공략법

▶ 중3-2 :: 고등 수학 기초가 되는 삼각비와 원 공략법

▶ 고1 :: N차 방정식과 부등식 필살 학습법!

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저자
손아름 원장

서울대학교를 졸업하고 현재 대치동 에스온수리영재아카데미 대표로 있습니다. 고등에서부터 강의를 시작했지만 학생들에게는 초등때부터의 제대로 된 교육이 절실하다는 생각에 초중등 대상 수업으로 뛰어들어 현재까지 10여년 동안 대치동에서 수학강의를 이어가고 있습니다. 강의 뿐 아니라 학부모 대상 입시 설명회, 수학교재 집필 등을 하며 입시와 교육의 최전선에서 활동하고 있습니다.

MBC <공부가 머니?>에 영재교육 전문가로 출연했고 <대치동 초등 로드맵> <수학에 심장을 달다>집필, <대치동 명강사들의 10인 10색 관리법>에 참여했습니다.

▶ 유튜브 [대치동 손대장]

▶ 카카오톡 오픈채팅 [서울대 가는 대치동 초중공부법 @손T네 수학맛집]

▶ 밴드 [대치 에스온 수리영재아카데미]

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