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안녕하세요! 대치동 손대장 손아름입니다.
이전의 1,2회 칼럼을 통해서 초등수학을 어떻게 다지는 것이 좋은지 차근히 설명드렸습니다.
이제는 본격적으로 중등 교과수학을 다루어 볼 텐데요, 중등과정은 크게 1학기와 2학기 과정으로 나누어지며 1학기는 수체계, 문자와 식, 방정식과 부등식, 함수로 구성된 대수 파트를 다루게 됩니다. 2학기는 평면도형 및 입체도형을 다루게 되는 기하파트가 대부분이며, 그 중에서도 평면기하에 많은 내용이 집중되어 있습니다. 2학기 후반부에는 경우의 수, 확률과 통계를 다루는 내용도 등장하는데 그 비중이 1학년 기준 전체 학기를 통틀어 1단원 정도로 압축적으로 제시되는 것이 특징입니다.
오늘 설명드릴 중1-1의 교과 과정은 다음과 같습니다.
※ 참고 : 개정교과과정에서 최대공약수와 최소공배수의 활용파트가 빠진다고는 하나 향후 배울 인수분해, 다항식에서의 인수(약수) 등에서 두고두고 다양하게 활용될 수 있는 부분이기에 커리큘럼 상에서 빼지 않고 그대로 살려두었습니다.
중등에 처음 입문하게 되면 ‘드디어 나도 중등수학을 시작하게 되었어!’라는 기대와 설렘 반, 그리고 ‘초등도 만만치 않았는데 중등수학부터는 또 얼마나 어려울까?’라는 두려움 반의 상태로 시작하게 됩니다. 여기서 첫 시작이 가장 중요합니다. 즉, ‘할 만 하네 이거!!’ 라는 자신감 넘치는 반응을 이끌어내어 기세를 내 편으로 가져와야 한다는 것이지요. 생각만 해도 신나지 않나요? 중등 수학 첫 스타트부터 ‘엄마, 중등수학 할만해요!’라고 하면서 뛰어드는 모습! 그럼 우리는 지금 무엇을 해야 할까요? 그 ‘기세’를 잡을 수 있는 방법을 찾아야겠지요? 지금부터 차분히 그 답을 찾아보겠습니다.
중1 과정 전체 훑어보기
위의 단원명을 보면 첫 단원부터 매우 익숙한 단어가 등장합니다. ‘최대공약수와 최소공배수’
네, 중1-1의 첫 시작은 ‘수와 연산’입니다. 그 중에서도 자연수의 연산에 대한 것이기 때문에 이미 초5-1부터 중요하다고 엄청 강조했었던 ‘약수와 배수’에 대한 이해에서부터 시작하게 됩니다. 초5-1에서 배웠던 것에 ‘소인수분해’라는 내용이 추가가 되어 이를 통해 최대공약수와 최소공배수 등을 구하는 것, 자연수의 약수의 개수와 약수의 총합을 계산하는 일반화된 식을 유도하는 것 등을 배우게 되지만 실제 그 내용의 난이도가 굉장히 높아진다거나 하지는 않습니다. 오히려 5-1의 심화서의 대명사로 불리는 최상위수학, A급수학 등에서의 약수와 배수 문장제 문제와 중1-1에서 나오는 약수와 배수 문제의 난이도는 대동소이합니다.
자, 감이 오시죠? 이런 부분 때문에 초5~6과정에서의 응용, 심화 연습이 반드시 같이 따라가야 한다고 말씀드렸던 것입니다. 가볍게 진도만 나간다고 해서 그 다음 내용이 같이 줄줄 잘 따라와주지 않으니까요. 정작 중등 수학을 시작하게 되면서 그 첫 시작부터 ‘나는 중등 수학이 너무 어려워’ ‘분명히 초등 때 했던 내용인 것 같은데 중등 수학에 들어오니까 다 까먹은 것 같아. 자신감이 떨어져.’ 라는 부정적인 반응이 나오지 않으려면 초등과정에서 그대로 이어지는 중등 첫 시작 단원이 단단하게 받쳐줘야 하는 것입니다. ‘할만하다!!’ 라는 반응이 나올 정도로요.
그 이후 단원들을 살펴보면 유리수의 개념에 대해 배우면서 처음으로 ‘음수’라는 개념을 습득하고, 일차방정식을 통해 미지수를 사용한 식을 세워 그 미지수의 값을 구해가는 과정을 배우며, 6학년 때 배운 비와 비례를 확장하여 좌표평면에서의 정비례, 반비례의 표현에 대해 학습하는 것을 순차적으로 진행하게 됩니다.
자, 1단원에서는 자연수의 활용이기 때문에 아직 문자와 식이 등장하지 않습니다. 구체적인 수를 통해서 접근하기 때문에 머릿속에 문제를 읽고 그에 관련된 상을 띄우는 것이 원활합니다. 그러니 여기까지는 매우 할만할 수준이라고 생각할 수 있습니다. 그런데 2단원에서 음수를 포함한 유리수의 개념에 대해서 배우게 되고, 3단원에서 문자와 식의 사용에 대해서 배우게 된다면 어떨까요?
음수는 영하의 날씨가 음수로 표현된다는 것 등을 알고 있기 때문에 음수 자체의 개념은 크게 어렵게 접근하지 않습니다. 다만 양수와 음수가 ‘방향성’을 가진다는 것, 그래서 -(-2)가 +2가 된다는 것, (-2)(-3)=+6 이 된다는 것 등은 개념을 원활하게 받아들이기는 쉽지 않습니다.
이 상태에서 아이들은 암기를 시작하게 되지요. 마마플(마이너스 곱하기 마이너스는 플러스), 마플마(마이너스 곱하기 플러스는 마이너스) 등의 발음도 희한하지만 중등수학을 공부했던 전국민이 다 알고있는 ^^;;; 암기 용어가 등장하는 것이 바로 이 시기입니다. 마마플, 마플마 등의 방식도 괜찮습니다. 단순한 계산에서는 꽤 효과가 좋거든요. 그런데 단순한 곱셈이나 나눗셈까지는 위의 방식으로 로 여차저차 해결이 되지만 양수와 음수, 문자와 식, 아이들이 많이 헷갈려하는 괄호의 사용까지 섞여있는 혼합계산에서, (간단하지만) 지수와 절댓값이 사용되고 번분수와 마이너스의 분배가 화려하게 사용되는 등의 식들을 보게 된다면.... 아이들의 반응은?
아이들은 어떤 문제는 맞추지만, 또 이와 비슷해보이는 어떤 문제는 틀리고 하는 중구난방의 계산 대환장 파티와 마주하게 됩니다. 이제 막 개념을 배웠을 뿐이라고 하지만 현실은 개념을 바로 적용하는 문제들과 직면하게 되거든요.
차원이 다른 연산의 신세계, 충분한 경험만이 살 길
보통의 문제들이 이런 식입니다.
[정확한 용어를 알고 구사할 수 있는지에 대한 문제]
[정확하게 식을 가장 단순한 최종 형태로 표현한 뒤, 그 계수를 이용한 추가 계산까지 확실하게 마무리해야 하는 문제]
[지수 활용문제: - n이 자연수이므로 짝수와 홀수일때의 경우를 나누어 생각해야 하는 문제]
이런 문제들을 접해야 하기에 자연수와는 차원이 다른 연산의 신세계를 마주하게 됩니다. 그리고 이런 개념을 배우자마자 바로 복잡해보이는 식을 해결해야 하고, 그 활용 문제까지 섭렵해야 합니다. 그렇다면 이 과정에서 미리 무언가를 기본기로 깔아놓아 주는 것이 좋겠지요? 느낌이 오시나요? 네, 정답은 바로 제가 항상 강조하는 [미리 연산 경험하기]입니다.
원활한 연산이 뒷받침 될 때 그 개념을 활용하는 문제까지 한번에 치고 나갈 수 있는 뒷심이 길러집니다. 이제 막 연산을 하는 둥 마는 둥 실수투성이의 상태에서는 조금만 문제를 비틀어놓거나 함정을 파놓는다면 계속해서 걸려 넘어집니다. 조금만 문제가 길어지고 계산이 꼬여있다 생각하면 ‘나는 어차피 또 실수하게 될거야.’ 라고 맥을 놓아 버립니다.
그 상태에서 활용문제까지 기세등등하게 치고 나가는 것은 어렵지요. 이 경험은 훗날 수 체계가 확장되고, 문자와 식이 다양한 형태로 변주되는 상황에서의 계속되는 자신감 결여로 이어질 수 있습니다. 문제를 보면서 연산 때문에 겁에 질려버리거든요. 머릿속에서는 문제를 온전한 시각으로 바라볼 여유가 몽글몽글 피어나야 하는데 일단 연산부터 자신이 없다면 그런 여유 따위는 생기지 않습니다. 그래서 중등수학을 앞두고 있는 분들께는 늘 말씀드립니다. ‘중등 대수는 시작하기 전에 연산을 먼저 한 바퀴 돌아보고 시작하는 것이 안전하다.’ 라고요.
수 감이 빠르고, 연산에 있어서 두려움이 없다면 상관다고 느끼시겠지만 그것이 계산의 완벽함과 연결되는 것은 아닙니다. 결국 최종 마무리는 정확한 답을 이끌어내는 것에 기인하기 때문에 연산의 연습은 무척 중요한 이슈입니다. 그리고 이 부분이 잘 잡혀 있어야만 1-1의 일차방정식에서 특수해를 가지는 경우, 1-2에서의 도형 측정파트에서 문자와 식을 활용한 문제의 해결 등을 수월하게 받아들일 수 있는 머리가 길러집니다.
굳이 이유를 생각하지 않더라도 머릿속에서 1+1=2 인 것이 자연스럽게 떠오르듯 문자와 식을 활용한 연산이 물흐르듯 자연스럽게 쭉쭉 이어져야 합니다. 그래야 이를 근간으로 하는 다음 단원, 다음 학기들의 문제를 접했을 때도 연산에 얽매이지 않고 문제 자체에 대해 고민하고 생각해볼 수 있는 여유가 길러지거든요.
이렇듯 중1-1의 가장 중요한 부분은 [연산]의 원활성을 기르는 것에서 시작됩니다. 안전하게 연산을 미리 다질 수 있는 시간을 확보한 뒤 본격적으로 중1-1 공부를 시작하는 것이 좋습니다. 초6 과정 학습 마무리 즈음에 있어서 일부 시간을 쪼개어 1-1 연산을 병행하는 것도 충분히 가능합니다. 일단 익숙한 배경을 만들어 놓아야 ‘기세’를 잡을 수 있다는 것, 꼭 기억해주시면 좋을 듯 합니다. 연산만 빠르고 가볍게 다져볼 수 있는 추천 교재는 다음과 같습니다.
▶ 추천 교재 - 바쁜 중1을 위한 중학연산, 수력충전, 디딤돌 개념연산
중1-1에서 연산을 잘 잡은 뒤, 시중 기본서와 유형서를 통해 기본 및 응용 문제를 충실하게 해결할 수 있을 정도가 된다면 중등 전 과정을 앞두고 충분한 워밍업이 되었다고 해도 과언이 아닙니다. 결국 여기에서부터 중등의 모든 과정은 뻗어나가게 되거든요 ^^
중1-2는 초등 4~6학년에서 조금씩 단원별로 쪼개서 배운 기하의 개념을 집대성해서 한 번에 정리하는 과정입니다. 여기에 좀 더 심화 내용으로 작도의 개념, 위치관계, 정다면체에 대한 내용이 추가되지만 전체적으로는 초등과정에서 학습했던 기하의 개념을 통합 정리하여 리마인드하는 의미가 큽니다. 난이도는 어떨까요? 초등 심화 문제집에서 원의 넓이 등을 구할 때 3.14를 곱하는 등의 계산을 했던 것과는 달리 복잡한 소수 계산 등이 배제되어 오히려 쉽다는 아이들이 많습니다. 다만 이것은 일반적으로 단순 측정문제에만 국한된 것이고 작도와 합동, 위치관계와 같은 것들은 정확한 개념에서 비롯된 이해가 필수적입니다. 특히 제시된 명제가 참인지 거짓인지에 대해 거짓이라면 그것이 성립할 수 없는 이유인 반례를 제시하는 등의 훈련이 필요합니다.
아직은 익숙한 내용이 많은 1-2이기에 이런 부분을 가볍게 넘기고 측정에만 집중한다면 2-2의 기하에서부터 많은 어려움과 부딪힐 수 있기에 처음 보는 작도와 합동, 그리고 위치관계에 대해서는 정확한 개념을 인지하고 그 내용을 카테고리를 나누어 설명할 수 있는 수준까지 끌어올리는 것이 필요합니다. 문제집을 풀 때에도 [다음 중 옳은 것을 모두 고르시오] [다음 중 거짓인 것을 모두 고르고 그 이유를 설명하시오.]등과 같은 합답형 (선택형) 문제, 증명문제 논증과정 중 가장 적합한 내용의 빈칸 채우기 유형 등을 어떻게 푸는지 유심히 지켜봐주셔야 하고요.
진짜 실력이 길러진다면 이런 문제들을 잘 풀게 되거든요. 공식 외워서 냅다 대입하면 풀리는 그런 측정문제들 말고 이런 문제에 집중해주셔야 합니다. 이런 문제에서는 오류가 있다고 생각하는 명제에는 그 이유(반례)를 같이 서술하도록 하는 것, 그리고 그 적합성에 대해서 답안지 등을 통해 다시 한 번 확인하는 것이 오래 가는 기하 실력을 기르기 위해 매우 큰 도움이 됩니다. 실제로 저도 학생들을 가르칠 때 측정보다도 이 부분에 공을 들이고 있구요 ^^
1-2의 마지막 단원인 통계 (줄기와 잎 그림, 도수분포표) 파트는 가볍게 진행하셔도 좋습니다. 이 내용이 앞으로 계속해서 나온다면 꽉 잡고 쎄게^^;; 진행하는 것이 맞겠지만 이 파트가 다른 대수, 기하 파트와 연계해서 나올 일은 거의 없습니다. 개념만 정확히 한 뒤 시중 유형서 정도만 풀이할 수 있다면 가볍게 패스하셔도 좋습니다. 심화 문제는 중1 내신 때 하는 것으로 넘기셔도 괜찮다는 말씀을 드립니다.
향후 진행될 중2, 중3 과정을 위해서 적어도 중1을 어느 정도까지 다지는 것이 좋은지, 시중 교재 수준으로 이야기해달라는 질문을 많이 하시는데 중1은 타 학년에 비해 난이도가 높지 않은 편입니다. 심화서라 하더라도 그 심화의 수준이 타 학년에 비해서 높이 올라가기 어렵습니다. 배운 것이 많지 않기 때문이지요. 그리고 초등 내용과 겹치는 것도 많기도 하구요 ^^
하여 중1은 아래와 같이 정리해드릴 수 있습니다.
1. 연산 미리보기
- 1-1만 해도 충분합니다. 다만 연산이나 기본 개념을 미리 보는 것이 효과적이었다, 수월함이 컸다. 라면 기하도 그렇게 쉬운 책을 미리 보는 것이 좋습니다. 위에서 추천드린 교재는 모두 2학기 책도 나와있으니 그 책을 참고해보시면 되겠습니다.
2. 시중에서 개념서라고 불리는 문제집은 반드시 1권 끼고 갈 것
- 학원에서 개념을 자세히 설명해주거나 개념노트를 만드는 등의 활동이 있다면 가볍게 기본 문제 다루고 바로 유형서 등으로 진입해도 되지만 그게 아니라면 개념 위주의 쉬운 기본서는 반드시 다루고 가는 것이 좋습니다.
▶ 추천교재 - 숨마쿰라우데, 아빠마음 중학수학, 개념원리
3. 응용이나 심화는 반드시 하되 후행관리의 차원에서 접근하기
- 응용, 심화 문제를 기본서 이후 바로 연이어 가도 좋겠지만, 뭐든 한 번에 완습은 어렵습니다. 조급하게 가면 오히려 요령만 익히고 암기로 승부를 보게 됩니다. 시간이 걸림을 인정하고 두고두고 자주 노출해주는 것이 자연스럽게 완습으로 향하는 길이 됩니다. 되도록 응용수준까지는 중1 기본서와 함께 혹은 그 직후에 바로, 그리고 심화서는 응용과정까지 마무리 후 그 오답들의 정리까지 모두 완료된 뒤에 하시는 것을 권해드립니다. 중2과정이 들어가면 그에 발맞춰 중1 후행 다지기 차원에서 다시 보는 것이 좋다고 말씀드리지만 이건 아이이 소화력에 따라서 시기를 달리할 수 있습니다. 수학 이해력이 좋은 경우라면 중1까지는 심화서까지 한 번에 가는 경우도 많으니까요. 다만 이걸 믿고 중2 이후에도 똑같은 커리를 잡는다면 그건 매우 곤란합니다. 중2부터는 폭발적으로 학습량과 심화의 정도 모두 높아지니까요 ^^
다시 돌아와서, 중1만 시기를 오래 잡고 주구장창 하자는 것이 아닙니다. 모든 과정에 있어서 한 번에 한 과정을 심화까지 마무리짓겠다는 생각보다는 향후 과정을 하면서 꾸준히 복습하는 것이 좋다는 의미입니다. 위에서 말씀드렸듯이 중2 내용을 하면서 중1 심화를 같이 보완하는 식으로 하는 것이 좋다는 뜻이지요 ^^ 응용-심화 라인업 추천교재는 전통적인 교재들이라 어머님들께서도 익숙하실 것 같습니다.
▶ 추천교재 - 응용 : 최상위라이트, 일품 / 심화 : 에이급, 최상위수학
위의 교재 외에도 좋은 책들이 너무나 많지만 책을 소개하는 것이 주 목적이 아니기에 가장 높은 인지도를 가진 책 위주로 짧게 말씀드렸습니다. 이와 유사한 수준의 교재들은 인터넷에서 [난이도별 중등 수학 교재]등의 키워드로도 쉽게 서치가 가능하니 이를 이용해보시면 좋을 것 같습니다.
오늘은 중등과정의 첫 시작인 중1 전과정에 대한 설명을 드렸습니다. 중1은 초등과정에서 배운 내용을 포함하여 그에서 파생, 발전하는 새로운 개념을 한숟갈 더 얹어주는 정도의 난이도입니다. ‘이 과정조차 어려워서 헤매고 있는데 무슨 소리냐!’ 라고 하실 수 있겠지만, 실제로 그러합니다. 이어져 나올 중2, 중3 과정과 고등과정에서 새롭게 배울 수많은 개념들을 생각해보면 가볍기 이루 말할 수 없는 과정입니다. 초등과정에 이어서 약간의 다지기를 하며 쉼을 허락하는 단계랄까요.
그러니 이 과정에서 흔들림이 있다면 잠시 멈춰서서 초등 고학년 과정부터 중1 과정을 다지고 또 다지는 시간을 가져야 합니다. 비빌 언덕을 만들어 두고 배수의 진을 쳐야만 앞으로 자신있게 나아갈 수 있습니다. 다음 칼럼부터는 2회에 걸쳐서 중등 최대의 고비, 중2 과정을 슬기롭게 정복하는 방법에 대해 설명드리도록 하겠습니다.
이상, 대치동 손대장, 손아름이었습니다!
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저자
손아름 원장
서울대학교를 졸업하고 현재 대치동 에스온수리영재아카데미 대표로 있습니다. 고등에서부터 강의를 시작했지만 학생들에게는 초등때부터의 제대로 된 교육이 절실하다는 생각에 초중등 대상 수업으로 뛰어들어 현재까지 10여년 동안 대치동에서 수학강의를 이어가고 있습니다. 강의 뿐 아니라 학부모 대상 입시 설명회, 수학교재 집필 등을 하며 입시와 교육의 최전선에서 활동하고 있습니다.
MBC <공부가 머니?>에 영재교육 전문가로 출연했고 <대치동 초등 로드맵> <수학에 심장을 달다>집필, <대치동 명강사들의 10인 10색 관리법>에 참여했습니다.