구독상품안내
앞선 칼럼에 이어, 오늘은 중2-2 수학의 각 단원별로 체크해야 할 내용, 갖춰야 할 습관에 대한 핵심을 짚어드리려 합니다.
■ 삼각형
✔️ 이등변삼각형과 직각삼각형의 내용을 쉽다고 생각하여 간단하게 패스하고 넘어가는 경우가 많습니다. 교과서나 문제집 내용정리에 나오는 정의와 관련 정리에 관해서 꼼꼼하게 짚어보고 다시 한번 스스로 정리해보는 것이 좋습니다. 관련 문제를 풀 때도 어떤 성질을 이용해서 문제를 푸는지 서술을 하는 습관을 들여야 하기에 그 근거가 될 내용을 숙지한다 생각하고 쉬운 것부터 머리에 익힌다고 생각하시면 됩니다.
✔️ 교과에서 다루는 내심, 외심 외에도 삼각형의 무게중심, 방심, 수심의 내용까지 익히는 것이 좋습니다. 실제로 문제에서 많이 다뤄지기 때문입니다. (특히 무게중심과 방심은 삼각형 응용 심화 문제에 단골손님처럼 등장합니다.) 관련 내용은 포털사이트에서 쉽게 찾을 수 있습니다.
✔️ 위의 다섯가지를 [삼각형의 오심]이라고 합니다. 삼각형의 오심의 정의, 그리고 성질에 대해서 [암기]가 아닌 [이해]와 [증명]을 할 수 있어야 합니다. 실제로 삼각형을 그리고, 각 정의에 따라서 작도를 하게 되면 너무 당연하게도 우리가 암기해왔던 성질이 그대로 드러나게 됩니다. 그렇게 자연스럽게 흘러가듯 여러 차례 증명을 거듭하다보면 외우는 것은 최소화되지만 정확한 개념의 경로가 머리에 남게 됩니다. 시간이 오래 지난 이후에도 공식으로 가는 경로가 머릿속에 남아있기 때문에 잊었다고 당황할 일은 없지요.
■ 사각형
✔️ 사각형의 포함관계를 표나 다이어그램으로 나타낼 수 있는 것은 기본 중의 기본입니다.
✔️ 사각형에서의 평행선이 존재할 때 등적변형을 이용한 넓이 분할 문제는 이때 완전히 정복해야 할 문제 유형 중 하나입니다. 넓이 변환 문제는 다소 어려운 것들까지 연습 꼭 시켜주셔야합니다. 고등과정에서 도형의 방정식에서의 넓이의 최대 최소 문제에서 등적변형 활용이 안되어서 문제를 못푸는 경우가 있어요. 참 안타까워요. 고등내용이 아니라 중등 기하 기초, 기하를 보는 눈이 부족해서 그런 경우니까요. 지금 연습을 시켜주셔야 합니다.
✔️ 사각형 중 가장 큰 위상을 차지하는 것은 바로 평행사변형입니다. 앞으로 나올 닮음에서 평행선이 굉장히 중요하겠지요? 그 평행선의 성질을 가지고 있는 것이 평행사변형이예요. 평행사변형의 정의, 그리고 평행사변형이 되기 위한 5가지 조건을 정확하게 알고 있어야 합니다. 그리고 평행사변형이 어떤 조건을 더 갖추었을 때 직사각형이나 마름모가 될 수 있는지 여러 조건을 변화시키면서 살펴봐야합니다. 평행사변형에서 여러 내부의 선이 그어졌을때의 넓이 분할은 어떻게 이루어지는지도 당연히 잘 체크해야합니다.
■ 닮음
✔️ 닮음은 기본적인 약속부터 제대로 지키는지 확인을 해주시는 것이 좋습니다. 닮음을 표시할 때, 대응하는 순서대로 표시할 것, 예를 들어 와 가 닮음이라면 순서대로 대응하도록 쓰는 거죠. 각A와 각D, 이런 식으로요. 그래야 복잡하게 꼬여있는 도형 속에서의 대응변이나 대응각을 발견하기 쉬워집니다.
✔️ 닮음 문제를 풀다보면 문제집 속 작은 도형에 여러 각이나 변의 정보를 넣어서 쓰는 친구들이 참 많아요. 굳이 그 작은 도형에 왜 꼭 풀이를 우겨넣는걸까요. 행여 잘못 표시라도 된게 있으면 지우고 쓰기를 반복하다가 결국 도형이 너덜너덜해지면서 풀이 자체의 의지도 너덜너덜해지는 경우가 많아요. 되도록 습관 자체를 [새로 그려가며 푸는 것]으로 세팅하는 것이 좋습니다. 특히 기하는 이 방법이 매우 효과적이예요. 이왕에 새로 그릴거라면 크고 넉넉하게 그리는게 좋겠지요.
그리면서 얻는 효과는 매우 다양하지만 기본적으로 아래 두 가지의 효과가 가장 큽니다. 일단 문제 조건을 보면서 그리다보면 도형의 성질을 생각하면서 빠르게 아이디어를 산출해낼 수 있어요. 이미 그려져 있는 그림을 보며 문제를 읽을때와는 다른 적극적인 사고를 하게 되는 것이지요. 실제로 문제집에 있는 문제만 한참 쳐다보았을때는 죽어도 안풀리던 문제가 문제 조건을 읽으면서 도형 작도만 했을 뿐인데 해결의 아이디어를 쉽게 얻는 경우들이 많아요. 그리고 두 번째로는 손끝이 야물어지구요 ^^ 찐 실력자들의 훌륭한 기하노트가 그냥 나오는게 아니지요. 여러번 연습하고 직접 써봐야만 나올 수 있는 결과물입니다.
[직접 다시 그림을 그려가면서 서술해서 푼 예시]
✔️ 닮음 이론은 수없이 많습니다. 우리는 교과에서 간단한 수준의 평행선과 관련된 이론을 학습하는 정도이지만, 일단 이 이론부터 증명 위주로 수없이 반복하는 것을 진행해야 합니다. 공식을 외우는 것은 일회성에 그친다고 분명히 말씀드렸습니다. 당장에 달콤한 결과는 보여질지 몰라도 한달뒤에 다시 풀리면 그 공식을 까먹었다고 말할 것이 분명합니다. 시간이 오래 걸린다 하더라도 롱런하는 방법을 택해주십시오.
✔️ 교과 이론이 어느 정도 정립이 되었다면 다음 이론 정도는 꼭 찾아서 학습을 시켜주시는게 좋습니다. [메넬라우스 정리] 이 역시도 포털사이트에 검색하면 자세한 증명법과 정리를 찾아보실 수 있습니다. 제 유튜브에서도 관련 영상을 보실 수 있구요 ^^
■ 피타고라스 정리
-피타고라스 정리는 딱 한가지만 기억을 하시면 되겠습니다. [유클리드 증명법을 시작으로 하여 다양한 증명법을 익히는 것을 우선으로 하자.] 어차피 대표 공식은 우리 학부모님들도 잘 알고 계신 것입니다. 이것이 나오게 된 여러 증명과정에 대해 충분히 익숙해진 뒤, 그것을 바탕으로 하나씩 피타고라스 활용을 익혀간다면 얼마든지 빠르게 학습할 수 있습니다.
[피타고라스 정리 강의 노트 일부 발췌]
■ 경우의 수와 확률
✔️ 중등교과 전반에 걸쳐서 확률과 통계는 매우 적은 분량으로 다루어집니다. 경우의 수와 확률은 딱 한번, 중2-2에서만 다루어지게 되는데요. 정확한 카운팅 (경우의 수 세기)를 위해서는 복잡한 문제보다는 간단한 조건에서의 문제부터 촘촘히 연습을 해야합니다.
당장 내신대비를 해야 하는 것이 아니라 선행 등으로 미리 학습을 하고 있는 경우라면 경우의 수, 조합만 전문적으로 기본을 다져주는 책을 따로 구비해서 학습하는 것이 좋다고 추천드리는 편입니다. 중2-2 시중교재와 교과서 조차도 경우의 수와 확률에 대해 할애된 분량 자체가 너무 작다보니 개념부터 문제까지 너무 압축해서 다루는 경향이 있습니다. 배경 지식이 없는 학생들이라면 이 부분을 유난히 어려워하는 경우가 많아, 꼭 쉽게 설명된 전문 교재를 한권 정도는 미리 독파하고 보시는 것이 바람직합니다.
✔️ 경우의 수 연습이 확실히 되어야 확률 파트가 안전하게 됩니다.
결국 확률이라는 것은 [전체 경우의 수] 분의 [특정 경우의 수]를 구하는 것이기 때문에 모든 것은 경우의 수. 구하기로 귀결됩니다. 그러니 경우의 수 구하기, 정확한 카운팅을 연습하는 것에 총력을 기울여야합니다.
지금까지 중등 2-2 학습법에 대한 내용을 살펴보았습니다.
2학년 전 과정을 돌아보고 나니 큰 산을 하나 넘은 느낌이네요. 말로 이야기하기에도 벅찬 과정을 글로 정제해서 하나하나 풀어내려니 더더욱 어깨가 무거웠던 시간이었습니다. 하지만 이 과정을 짧게는 몇 개월, 반복까지 길게는 1년 이상 해야 하는 우리 아이들이기에. 좋은 정보를 알아야 그 시간을 헛되이 보내지 않을 수 있다고 생각하여 좋은 것만 꾹꾹 눌러담자는 생각에 고쳐쓰고 또 고쳐쓰고를 반복한 새벽이었네요 ^^
중등 대수과정도 심화 후행을 하는 것이 좋다고 말씀드렸지요? 마찬가지로 중등기하 역시 심화서까지의 학습을 하는 것을 추천드립니다. 시기는 학생들마다 상이하겠지만 대략적으로 고등과정을 하면서 기하 심화를 함께 하는 것이 가장 바람직합니다. 이 내용은 중3-2 과정의 칼럼에서 한번에 말씀드리도록 하겠습니다.
다음 칼럼에서는 중등 마지막 과정인 중3 수학 학습법으로 인사드릴게요.
이상, 대치동 손대장, 손아름이었습니다!
손아름 원장의 <초등부터 고등까지 성공하는 수학 공부법> 시리즈
─
저자
손아름 원장
서울대학교를 졸업하고 현재 대치동 에스온수리영재아카데미 대표로 있습니다. 고등에서부터 강의를 시작했지만 학생들에게는 초등때부터의 제대로 된 교육이 절실하다는 생각에 초중등 대상 수업으로 뛰어들어 현재까지 10여년 동안 대치동에서 수학강의를 이어가고 있습니다. 강의 뿐 아니라 학부모 대상 입시 설명회, 수학교재 집필 등을 하며 입시와 교육의 최전선에서 활동하고 있습니다.
MBC <공부가 머니?>에 영재교육 전문가로 출연했고 <대치동 초등 로드맵> <수학에 심장을 달다>집필, <대치동 명강사들의 10인 10색 관리법>에 참여했습니다.