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안녕하세요! 대치동 손대장 손아름입니다.
중등수학에서의 기본적인 유형 연습이 충실히 된 채로 응용문제들을 열심히 다진 상태가 아니라면 처음 고등수학을 시작하면서 적잖은 어려움을 겪게 됩니다. 중등대수와 비슷한 단원명이지만 내용이 더 깊어집니다. 중등에서의 이해도를 바탕으로 더 확장을 해 나가야 하는데 충분한 바탕을 만들어놓지 못한 채로 고등에 진입하면 매 순간 고된 발걸음을 떼어야 합니다. 그렇게 좌충우돌하는 시기가 흘러가고 고등수학 내용에 어느 정도 적응을 했다 싶을 때, 복병처럼 등장해서 ‘아니야, 아직 긴장을 늦추지 말라고!!’ 외치는 단원이있는데요.
그 부분이 바로 ‘도형의 방정식’ 파트입니다.
고등수학은 대부분 수론에 해당하는 대수파트로 채워져 있습니다.
중등수학 2학기 내용을 통해 기하에 대한 접근을 하게 되지요. 중등기하에서 일부 입체 기하 내용이 등장하기는 하지만 대부분은 평면기하학에 대한 내용이 주를 이루고 있습니다.
그리고 이 내용은 다시는 등장하지 않을 것처럼 수면 밑으로 숨어서 정체를 드러내지 않다가 고등수학 [도형의 방정식]에서부터 다시 모습을 드러냅니다.
도형의 방정식은 말 그대로 좌표평면상에서 도형의 방정식을 세우고, 대수적으로 문제를 풀어나가는 과정이긴 하지만 (그래서 이것을 해석기하학이라고 부르기도 합니다.) 평면기하학에서의 도형의 성질을 적극 도입하면 더더욱 문제를 쉽게 접근할 수 있게 됩니다. 한 문제를 풀더라도 다양한 방법을 구사해보면서 고민하는 것은 가장 좋은 접근법이 되겠지요.
그래서 도형의 방정식 파트는 문제를 풀기 위해 다양한 기하적인 설명이 곁들여지는 것이 일반적입니다. 어떤 때는 방정식을 이용한 풀이가 효과적이고, 때로는 평면기하를 활용한 풀이가 더 정교하고 간결한 경우가 있지요. 그렇기에 이 파트는 다른 어떤 단원들보다도 다양한 풀이를 구사해보는 것이 핵심이지만. 기하가 기억의 저편으로 아스라이 잊혀진 상황이라면?
삼각형의 닮음부터 삼각비, 피타고라스 등 기하를 까마득하게 잊고 있던 학생들에게는 굉장히 당황스런 상황이 되죠. 와 이건 또 뭔가....싶을거예요.
중등기하부터 다시 봐야 하나... 싶은 생각도 들지만 그러면 어디부터 뭘 손을 대야 할지 막막하기 짝이 없고... 고등에서 다뤄지는 문제만 익혀보려고 해도 매번 순간 외우기로 모면하는 것 같아서 찝찝하기 이를 데 없고. 그런 단원이 도형의 방정식입니다.
그래서 일부러 도형의 방정식은 따로 다루는 것이기도 합니다. 자, 이제부터 고등 공통과정 중 가장 체감 난이도가 높을 수 밖에 없는 도형의 방정식을 공략하는 법을 알려드릴게요.
이 파트를 최대한 수월하게 지나가기 위해서는 사전에 어떤 작업을 해야 하는지, 그리고 향후 본격적인 수능 범위에 해당하는 수1,2부터 미적분까지 다양하게 활용되는 과정이니만큼 초견이라 하더라도 어느 정도까지 학습을 하는 것이 좋을지. 그런 현실적인 팁을 드리고자 해요.
준비 되셨을까요? ^^
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■ 가장 강력한 사전준비 - 고등수학 시작과 함께 중등기하 핵심 정리를 병행하자.
- 고등수학의 대부분은 대수에 해당하는 것들입니다. 그렇다보니 고등수학을 시작하게 되면 자연스럽게 기하에 대한 감을 서서히 잃어가게 됩니다. 실제 많은 학생들이 고등수학 진입을 위해 중등 대수는 반복을 통한 응용, 심화까지 가는 것을 당연하게 여기면서도 기하는 당장 쓸 일이 없다고 생각하다보니 내신 때만 바짝 집중해서 점수 올리자. 라고 생각하는 경우가 많아요. 이렇다보니 도형의 방정식이 유독 어렵게 느껴지는게 이상한 일이 아닌 듯도 합니다.
별도로 기하 복습을 하지 않는다면 고등 도형의 방정식을 아무리 들이판다 하더라도 순간의 기억에 그칠 수 있습니다. 그만큼 흡수율이 떨어지지요.
그래서 고등수학 시작과 더불어 중등기하 핵심 정리를 병행하는 것을 늘 입버릇처럼 말씀드리곤 합니다. 바닥이 탄탄하게 받쳐주어야 그 위에 튼튼한 성을 쌓을 수 있을테니까요.
대한민국에서 가장 유명한 수학 강사인 현우진선생님도 중등기하 강의를 별도로 제작 할 만큼 고등수학에서 높은 성취도를 유지하기 위해서는 중등 기하 정리가 필요합니다.
중등수학 학습 시 기하 정리를 제대로 하지 못했다면 방학 등을 이용해서 덩어리 시간을 들여 중등기하 개념을 통으로 정리하시는 것이 바람직합니다. 하지만 방법이 중요하지요. 덮어놓고 중1부터 중3까지 2학기 문제집을 쌓아놓고 어떻게든 부딪혀보겠다! 하는 것은 좋지 않아요. 어떤 내용이 중요한 것인지도 모르고 무조건 다 하겠다. 라면 작심삼일이 되어 문제집을 덮게 되겠지요. 우리에게는 시간이 많지 않기에 효율적인 학습이 필요합니다.
일단 고등수학에 들어갈 때 중등기하 점검을 해보시는 것 먼저 추천을 드립니다.
며칠 날을 잡아 2-2와 3-2의 내신기출문제를 주욱 풀려봐주세요. 1-2까지 갈 것도 없습니다.
삼각형, 사각형, 닮음, 피타고라스 정리, 삼각비와 원까지. 2~3학교의 내신을 풀어보시면 됩니다. 2학기 중간, 기말고사를 2개 학년을 보는 것이니 한 학교당 4개의 시험지가 있겠지요?
지역 상관없이 내신 난이도가 제법 있다는 학교의 문제들로 넉넉하게 2~3학교 골라서 풀어보시면 됩니다. 그 결과 전체적으로 90점 이상의 성적을 안전하게 유지한다면 기하 심화 정리 및 심화문풀을 병행하는 것으로, 대부분이 80점대 이하라면 기본 개념정리를 확실하게 먼저 하고 문제풀이 수준을 조금씩 올리는 형태로 학습의 가닥을 잡아주시는 것이 좋습니다.
개념학습이 먼저인 경우에는 혼자 학습을 권하지 않아요. 인강을 이용하는 것이 바람직합니다. 인강 중에서도 문제풀이에 치중한 강의말고 개념 위주의 강의로 보시는 것이 좋고, 고등에 정확하게 연계되는 내용만 모아서 정리하는 것이 가장 효과적입니다.
현재까지 이 부분에서 단연코 가장 좋은 강의는 현우진 선생님의 [NABAE] (노베이스를 위한 중등기하) 라는 수업입니다. 고등수학의 관점에서 꼭 필요한 내용만 정리했으니 목적성 분명하고, 강의 내용 또한 최강입니다. 이십여개의 강좌로 방학 등을 이용해서 정리하기에도 안성맞춤이지요. 그 어떤 강의보다도 가장 강추하는 컨텐츠입니다.
또 하나 추천하고 싶은 컨텐츠는 쌍방향 소통이 가능한 온라인 실강입니다.
인강으로는 집중이 어렵고, 자기주도적인 학습이 잘 되지 않아 최소한의 관리감독이 필요하다 싶은 경우에는 유튜브에서 [사이다수학]이라는 채널을 운영하고 있는 강민철 선생님의 수업을 통해서 기하 개념강의를 경험해보실 것을 권해드립니다.
강민철 선생님 역시 고등수학을 가르치셨던 분이기에 고등 도형의 방정식부터 이어지는, 기하가 꼭 필요한 고등의 영역을 정확히 캐치하시고 있기에 군더더기 없이 아주 명쾌한 개념 수업을 진행합니다. 기하를 직관적으로 쉽게 풀어가는 능력자 선생님이시죠.
중등 내신이 평균적으로 90점대를 웃도는 성적이라면 심화 이론정리를 더해서 난이도가 있는 심화 문제풀이를 진행해보는 것이 좋습니다. 특히 삼각형과 닮음, 피타고라스 및 원 파트 위주로요. 삼각비는 수1에서 삼각함수라는 이름으로 다시 다루어지게 되므로 시간이 허락한다면 하는 것이 좋겠지만, 시간이 부족하다면 잠시 패스하셔도 됩니다.
심화 개념 강의로는 온오프라인 수업이 모두 가능한 대치 올림피아드 학원의 조성림선생님의 기하 진선미 수업이 좋습니다. 경시기하 전문 선생님이시기에 중등교과에서 다루어지는 일반적인 정리 외에 심화 이론들을 쉽게 풀어서 알려주시는 장점이 있습니다. 교과에 있지도 않은 정리들이 왠 필요? 라고 생각하실 수도 있겠지요. 기하는 내용이 방대합니다. 교과에서 다루어지는 내용은 빙산의 일각에 불과하구요. 교과의 내용은 충분히 다양한 정리로 뻗어나갈 수 있고, 중등기하 교과 외 심화 이론을 장착하고 있다면 복잡한 도형의 방정식과 결부된 문제들을 손쉽게 해결할 수 있는 인사이트가 길러지기에 고등수학 진도를 진행하면서 기하 심화를 해야 하는 경우에 엄지 척. 하고 추천할 수 있는 강좌예요.
심화서 문제집은 고등수학을 진행하면서 하루 몇 문제씩 거르지 않고 꼬박꼬박 풀이하는 것을 가장 추천합니다. 문제집으로는 에이급수학을 가장 많이 권해드리고 있구요. 공식 단순 대입, 유형별 접근을 최대한 피하고 있는데다가 객관식을 철저히 배제하고 있기 때문에 생각하는 힘을 기르는 데 적합합니다. 단번에 몰아치듯 풀이하는 것 보다 곱씹어가며 나누어 풀이하는 것이 가장 좋지요. 하루 5~10문제 정도를 꾸준히 나누어서 풀이하면 가랑비에 옷젖듯 기하 실력이 일취월장하게 됩니다. 이렇게 다져나간다면 도형의 방정식을 진행할 때 즈음에는 중등 기하 때문에 막힐 일은 없으실거예요.
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■ 야물딱진 손 끝의 힘! 문제풀이의 아이디어를 얻기 쉽도록 그래프 최대한 정확하게 그리기
- 도형의 방정식을 잘 다지는 비법 중 원탑은 중등기하 학습을 꼼꼼히 병행하는 것입니다.
그리고 두 번째가 손끝이 야무진 아이가 되자! 입니다. 이건 글씨를 못쓰는 것 과는 관계가 없어요. 글씨 못쓴다고 그림을 못그리는 것은 아니거든요.
도형의 방정식은 말 그대로 도형이 중심이 되는 것이기에 도형을 실제로 눈으로 관찰하면서 해결의 아이디어를 얻을 수 있도록 하는 것이 중요합니다. 원의 방정식을 표준형, 기본형 등을 외워가면서 그 원의 중심과 반지름은 구할 수는 있습니다. 하지만 원을 이용한 자취 문제 등을 확실하게 해결하고 검토까지 가능하도록 하는 것은 직접 그려본 그래프라고 힘주어 이야기를 합니다. 그렇게 학습하는 것을 당연하게 여긴 학생들이 수학을 잘 할 수 있게 됩니다.
수학은 검토가 정말 중요하지요. 다양한 방향에서 더블체크가 가능하도록 한다면 실수를 줄일 수 있을 뿐 아니라 한 방향에서는 미처 보지 못했던 다른 방법들을 볼 수 있게 만들어줍니다.
그래서 도형의 방정식에서는 직접 그래프를 그려가면서 문제풀이의 아이디어를 얻을 수 있도록 합니다. 제대로 관찰하기 위해서는, 아이디어를 떠올릴 수 있도록 적정한 단서가 될만한 그래프를 그려야 합니다. 적정한 단서가 되는 그래프, 간단합니다. 최대한 정확하게 비율에 맞게 그리는 것을 연습시켜주셔야 합니다. (저는 이것을 reasonable한 그래프, accurate한 그래프를 그리는 것이라고 강조하곤 합니다 ^^)
사실 중등 대수 함수파트에서 함수를 대수와 그래프 양쪽으로 생각하면서 훈련을 해왔던 아이들, 그때부터 그래프를 비율에 맞게 잘 그려왔던 학생들은 이 연습이 어렵지 않을텐데 중등에서 그런 습관이 들지 않았다면 지금 여기서부터라도 연습을 시작해야 합니다. 자꾸 그리다보면 늘지요. 정확성과 속도 모두요 ^^
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■ 기본적인 필수 유형 문제들은 그 문제의 풀이 논리를 완벽하게 이해할 때까지 반복할 것
- 도형의 방정식은 앞으로 여러 함수, 방정식 문제 뿐 아니라 미적분에 이르기까지 다양하게 변주되어 등장하게 됩니다. 어지간한 킬러, 준킬러에 안끼는데가 없을 정도로요 ^^
그래서 필수 유형의 문제들은 완전히 익숙하게 술술 풀 수 있을때까지 반복해 주시는 것이 좋습니다. 적당히 이해했다고, 얼추 문제들을 풀 수 있는 수준이라고 넘어가시면 안됩니다.
기본정석의 모든 문제들, 쎈과 같은 문제집의 필수 유형으로 등장하는 문제들을 빠삭하게 꿰뚫고 있어야 합니다. 심화 문제가 아니라 필수 유형 문제들을 말씀드리는거예요. 이 문제들이 왜 이렇게 풀리는지, 그 풀이논리를 완벽하게 쏟아낼 수 있어야 합니다. 그 정도가 되어야 다른 영역의 문제들에서 도형의 방정식이 얼기설기 붙어있더라도 정확하게 핵심을 콕 찔러가며 해결할 수 있는 능력이 길러집니다. 도형이 복잡하게 붙어있다 하더라도 결국 시작은 작은 해결의 아이디어로부터 비롯되기에. 될 때까지 반복하고 또 반복해야합니다.
가능하다면 중요 핵심 문제들을 따로 정리해두는 노트를 만드는 것도 좋습니다.
문제를 쓰거나 붙이고 그 아래 최대한 잘 그린 그래프를 배치하고, 해결의 논리를 글로 설명하듯이 써두는 방식입니다. 그리고 그 문제를 해결하기 위해 필요했던 중등 기하 내용을 덧붙이거나 평면기하학적인 해결 방식을 추가로 넣을 수 있다면 금상첨화겠지요.
이렇게 정리된 노트 한권이 만들어질 수 있다면 이미 그 노트를 만드는 동안 도형의 방정식은 온전히 정리되어 머릿속에도 노트가 그대로 복사 붙여넣기 한 듯 완성이 되어있을 것입니다.
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■ 문제집 선택 가이드
- 도형의 방정식은 쉬운 개념서로 기본을 다지되, 기본정석과 실력정석에 있는 문제들을 반복해서 이해 될 때까지 학습하는 것을 가장 많이 추천드립니다.
시중에는 좋은 문제집이 너무 많습니다. 하지만 문제양을 늘리기 전에 핵심이 되는 줄기를 꽉 잡고 그 줄기를 튼튼하게 만들어놓은 뒤, 곁가지를 펼쳐가는 것이 바람직합니다. 특히 도형의 방정식은 더더욱요. 다른 단원과는 다르게 중등 연계 학습을 강조하는 것도 바로 이런 이유에서입니다. 줄기를 튼튼하게 만들어야 다음을 기대할 수 있거든요.
정석이라는 책은 올드한 컨텐츠의 느낌이라고 생각하실지 모르겠지만, 가장 핵심이 되는 문제들, 곱씹을수록 맛이 우러나는 문제들을 고르고 골라 잘 배치한 책이라고 생각합니다.
이 문제들을 숙지해야 다른 문제들에 원활하게 적용을 해볼 수 있기에 도형의 방정식 만큼은 정석이나 정석에 준하는 기본서들 (숨마쿰라우데, 수학의 바이블, 개념원리 등)을 통해서 완전히 익히고, 실력정석을 꼭 보시라고 말씀드리고 싶습니다.
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지금까지 고등 공통과정에서 가장 힘든 고비 중 첫 번째로 꼽히는 [도형의 방정식] 파트에 대해서 알아보았습니다. 칼럼을 꼼꼼히 보신 분들이라면 짐작하셨겠지만. 중등 기하가 얼마나 중요한 부분인지 다시 한 번 힘주어 말씀드리고 싶었습니다. 중등수학을 진행하는 경우라면 대수 못지않게 기하에 힘을 실어주시고, 기하 역시도 대수와 마찬가지로 적절한 반복과 심화가 필요함을 꼭 기억해주세요.
아는 것이 힘! 우리 아이들의 가장 현명한 가이드가 되어주셔야 할 어머님들이 ‘올바른 힘’을 가지실 수 있도록 계속해서 손대장이 힘이 되어드릴게요.
다음 칼럼에서 만나뵙겠습니다!
이상, 대치동 손대장, 손아름이었습니다!