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중2-1은 모든 단원에 있어서 무게감이 상당합니다. 중2-1의 첫 시작인 순환소수 단원부터 꼭 체크해야 할 핵심을 짚어드리겠습니다. 고등수학까지 연계를 고려했을 때 꼭 짚어야 할 내용, 갖춰야 할 습관, 자세의 내용을 담고 있습니다. 이미 아주 기본적인 것들은 너무 잘 알려져 있기에, 거기에 좀 더 보태서 고등과정까지 바라보았을 때 꼭 챙겨야 할 플러스 포인트들을 정리해보았습니다.
■ 순환소수
✔️ 순환소수까지 있어야 유리수의 전체 수 체계가 완성됩니다. 유리수 전체 수 체계를 정확하게 설명할 수 있도록 해야 합니다.
✔️ 순환소수와 유한소수의 구분에 대한 차이를 이해해야 합니다.
✔️ 무한히 반복되는 형태가 있다 하더라도 규칙성이 보일 때는 규칙적으로 보이는 부분을 치환하여 소거할 수 있음을 이해해야 합니다.
주의할 것은 순환소수를 분수로 나타내는 방법을 공식으로 외우는 것을 피해야 합니다. 단기적인 기억에 의존하는 것으로서, 잠깐 문제집 풀 때만 유용할 뿐, 시간이 지나면 가장 쓸모없는 방법이 되고 맙니다. 오히려 위의 [무한히 반복되는 형태의 규칙성을 이용하여 치환, 소거]를 이해하면 공식을 잊었다 하더라도 얼마든지 유도하여 사용할 수 있습니다. 오래가는 공부를 해야 합니다.
■ 문자와 식
우리 애가 셈이 느려요. 라는 말은 하지 않는 걸로 해요^^ 그런 말은 초등 과정에서 셈 처음 배울 때 할 수 있는 말입니다. 중등 2학년 과정씩이나 들어왔으면! 아무리 지수법칙, 단항식, 다항식 계산을 처음 배운다고 하더라도 연습에 연습을 거듭해서 어떻게든 잘하게 만들어야 합니다. 연습을 배신하는 연산은 없습니다. 연산은 수학 천재가 되었건 수학 감 없는 애가 되었건. 다 똑같이 매끄럽게 잘하게 만들어놓고 시작해야 그다음을 기대해볼 수 있는겁니다. 다시 한번 강조 또 강조합니다. 연산은 무조건!! 특히 중2 연산은 더더욱! 아무리 지저분한 연산이라 하더라도 해결할 수 있도록 만들어두어야 머리를 쓰는 대수식을 해결할 수 있는 기반이 만들어집니다.
■ 부등식
✔️ 교과서와 참고서에 늘 등장하는 부등식의 기본 성질은 정확히 숙지하는 것은 기본입니다.
✔️ 위의 성질이 잘 인지가 되었다는 전제 하에 추가적으로 정리하면 좋은 부등식의 성질들에는 다음과 같은 것들이 있습니다.
ex: 양변을 제곱할 때, 양변에 역수를 취할 때, 양변에 절댓값을 씌울 때의 부등식의 성질
위의 성질들은 어떤 특별한 공식이 있는 것도, 공식을 익히기 위함도 아닙니다. 그러면 공식을 알려드렸겠지요?^^ 부등식의 양변에 존재하는 수의 부호와 절댓값의 크기를 모두 다르게 설정하여 변화를 줘가며 경우를 하나씩 나누어 살펴보아야 하는 것이라 머리를 많이 써야 합니다. 그 단계에서 부등식이 공식으로 접근하는 게 아니라 세밀하게 경우를 따져가며 살펴봐야 하는 문제라는 인식이 강하게 길러집니다.
✔️ 부등식은 반드시 수직선에서의 해의 영역에 대해 표시하면서 풀이하도록 하는 것이 향후 고등 연립부등식 및 고차부등식에서의 매끄러운 문제해결 습관 형성에 도움이 됩니다.
✔️ 부등식끼리의 합, 차, 곱셈, 나눗셈에 대한 연습, 교과에는 나오지 않지만, 일차 연립부등식도 연습시켜주시는 것이 좋습니다.
■ 연립일차방정식
✔️ 연립일차방정식에서의 가감법을 통한 소거법, 등치법, 대입법 등 다양한 방법을 통한 해결을 익힐 수 있도록 해야 합니다. 대부분은 가감법을 이용해서 문제를 해결하는데 고등과정에서의 연립은 다양한 형태로 일어나다 보니 단순한 일차 형태일 때부터 식 변주를 시작해야 합니다.
✔️ 연립일차방정식에서의 특수해에 대해서 이해도가 낮은 경우가 많습니다.
해가 무수히 많은 경우, 해가 없는 경우, 오직 하나의 공통해(의 순서쌍) 가지는 경우를 정확하게 구분해서 설명할 수 있도록 해야 합니다. 그 수준에 도달하지 못한 채로 유형별 학습에 따라 답만 찾는 정도라면 고등단계에서 방정식이 쏟아져나올 때 예상되는 아이의 수준은 불 보듯 뻔합니다. 지금 하지 못하면 앞으로도 계속해서 하지 못한다는 것을 기억해주세요. 지금 해야 나중에 더 잘하게 되고 더 깊이 있게 하게 됩니다.
✔️ 정확한 답 표기 방식을 구사하도록 해주십시오. 연립의 경우 x=3, y=2와 같이 답을 써야 하는데 3, 2라고 쓰는 경우 이것은 답이 아닙니다. 이런 실수를 하는 경우가 매우 많습니다.
■ 일차함수
✔️ 중1-1에서 배운 정비례가 왜 2-1의 일차함수로 이어지는지에 대해 이해해야 합니다.
✔️ 직선의 방정식과 일차함수의 다른 점에 관해서 설명할 수 있어야 합니다.
✔️ 기울기의 다양한 접근, 표현법에 익숙해야 하고, 절편이 무엇인지 알아야 합니다.
✔️ 점의 평행이동과 함수(식)의 평행이동에 대해서 이해해야 합니다.
✔️ 정점을 지나는 직선의 방정식을 항등식의 원리에 근거해서 설명할 수 있어야 합니다.
✔️ 무엇보다 중요한 것, 일차방정식과 일차함수의 관계성에 대해서 알고, 연립일차방정식과 일차함수의 공통 해에 대해서 그래프로 설명할 수 있어야 합니다. 즉, 대수식과 그래프를 자유자재로 오가며 설명할 수 있어야 하지요.
절대 시간에 쫓기지 마세요, 특히 중2 과정은.
기본적인 내용은 교과서나 시중 교재, 인강, 공부법 유튜브 등에서도 너무 잘 정리가 되어 있기에 힘들여 찾지 않으셔도 괜찮아요. 일반 시중 교재에 설명된 것만 쭉 따라가더라도 전혀 무리가 없습니다. 하지만 2-1을 개념과 응용, 심화까지 차근히 즈려밟으면서 점진적으로 위의 내용까지 정리가 되고 있는지는 별도로 체크를 해 보셔야 하는 부분입니다.
아울러 2-1을 진행할 때는 절대 시간에 쫓기지 않으셔야 합니다. 물론 미리 계획을 세워놓는 것은 중요합니다만, 이때만큼은 계획에 아이를 맞추려고 하시면 안 됩니다. 간곡히 부탁드리건대 중등 과정 중에서도 중2 과정만큼은 충분한 여유시간을 두고 진행하셨으면 합니다.
요즘은 선행이 이슈가 되다보니 너나 할 것 없이 다들 빠르게 중등을 진행한 뒤 중1~2만 되면 고등을 들어가는 분위기입니다. 그러니 내 주변의 아이들이 고등을 하고 있는데 내가 고등을 하고 있지 않으면 불안하기 짝이 없죠. 속도가 뒤처진다고 해서 성적이 뒤처지는 것이 아닌데 말이죠. 그 속도에 발맞춰야 한다는 생각에 ‘중등 과정은 속진으로 나간 뒤 고등으로 진입하자’ ‘중등은 나중에 내신 때 심화를 하면 된다,’ ‘고등을 하면 자연스럽게 중등이 메이크업이 된다.’ ‘어차피 고등 하면서 중등 심화 할 생각이었다.’ 등 여러 가지 이유로 중2 과정을 번갯불에 콩 구워 먹듯 지나가 버리고 구멍이 큰 걸 알면서도 그냥 눈 꽉 감고 지나가 버리는 경우가 다반사입니다. 때로는 그 구멍이 고등을 진행하기 어려울 정도로 크다는 걸 알면서도요.
응용문제집을 충분히 풀어야 합니다.
다시 간곡히 말씀드립니다. 중2-1은 충분한 시간을 두고 개념학습을 시작하되, 되도록 응용서, 준심화서라 불리는 문제집을 꼭 두어 권 풀어보는 게 좋습니다. 중2 과정은 밀도 있는 개념들로 꽉 차 있어서 그 개념이 문제 속에 온전히 녹아들 수 있으려면 어느 정도 양치기도 필요하거든요. 단순한 문제들만 풀어서는 그 개념이 잘 녹아드는 경험을 할 수가 없어요. 그래서 응용서, 준심화서 말씀을 드린 거랍니다.
그리고 중2-2를 하면서는 기하파트가 완전히 새로운 영역인 데다가 또 다른 의미로 어렵기 때문에 기껏 힘들게 깨우친 2-1의 대수 내용이 휘발될 수 있으니 2-2를 진행하는 동안은 전략적으로 2-1 복습을 병행하시는 것이 좋습니다. 응용서, 준심화서를 진행하는 동안 오답을 다시 복습하는 것이 가장 좋고요, 전체적으로 오답률이 다소 높은 편이었다면 비슷한 수준의 문제집 (최상위라이트, 일품 등)을 한 권 더 갖춰서 풀이하는 것이 좋습니다. 그 정도 수준의 문제는 완전히 정복하는 것이 필요합니다.
여기에서 끝나는 게 아니에요. 중3 과정을 하면서도 에이급이나 최상위, 블랙라벨, 고쟁이와 같은 심화 문제집으로 또, 고등수(상)(하)를 하면서도 위 문제집 중 가장 난이도가 높은 레벨을 다시 한번 반복해보는 노력이 필요합니다. 이렇게 보면서 2-1의 깊이가 깊어지거든요. 같은 문제라도 바라보는 힘이 달라지고 인사이트가 남달라지는 거죠. 그 힘으로 고등 수학이 수월해진다는 걸, 저에게는 왜 아무도 알려주지 않았을까요 ^^
오늘은 중등 과정에서 가장 어렵다는 중2, 그 첫 시작인 2-1에 관한 이야기를 나눠보았습니다. 제가 말씀드린 대로 이렇게 중2 과정을 이어가려면. 인내심이 바닥을 치실 수도 있습니다. 실제로 이렇게 하는 아이가 있나 싶을 정도로 고난의 과정이실 수 있어요. 그런 힘든 과정이기에 그걸 제대로 해내는 아이들이 많지 않고, 그 아이들이 흔들리지 않는 최상위권으로 발돋움을 할 수 있는 것으로 생각합니다. 속진 빼는 진도 귀신들이 결코 최상위권이 되는 것이 아녜요. 하지만 제가 말씀드리는 방법은 최상위권 극상위권인 아이들이라면 다들 당연하게 잘하는 것들입니다. 힘들긴 하지만 이 과정을 뚜벅뚜벅 잘 걸어 나간다면, 중3 과정은 놀라울 정도로 수월함을 느끼실 수 있습니다. 그만큼 중2 과정에서의 개념학습부터 문제 훈련까지의 일련의 모든 과정이 단단하게 버텨주어야 합니다. 이 과정에서 많은 것을 배우게 됩니다. 아이도, 학부모님도요 ^^
반대로 이 과정을 참지 못하고 조금이라도 허술하게 넘어간 수많은 아이는 결국 입시에서 아무리 아무리 열심히 하더라도! 빈틈이 생기고 차이를 보이게 마련입니다. 결국 누구나 바라는 상위 1%, 그리고 1등급의 4%의 아이들은 그들만이 가지고 있는 차이가 있는 것 아닐까요. 그 차이는 속도가 아닌 제대로 된 힘든 노력에서 비롯된다는 것을 기억해주세요.
곧 기하의 꽃 중의 꽃이라는 닮음, 피타고라스를 담고 있는 중2-2학기 과정으로 만나 뵐 수 있도록 하겠습니다. 다음 칼럼에서 만나 뵐게요!
이상, 대치동 손대장, 손아름이었습니다!
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저자
손아름 원장
서울대학교를 졸업하고 현재 대치동 에스온수리영재아카데미 대표로 있습니다. 고등에서부터 강의를 시작했지만 학생들에게는 초등때부터의 제대로 된 교육이 절실하다는 생각에 초중등 대상 수업으로 뛰어들어 현재까지 10여년 동안 대치동에서 수학강의를 이어가고 있습니다. 강의 뿐 아니라 학부모 대상 입시 설명회, 수학교재 집필 등을 하며 입시와 교육의 최전선에서 활동하고 있습니다.
MBC <공부가 머니?>에 영재교육 전문가로 출연했고 <대치동 초등 로드맵> <수학에 심장을 달다>집필, <대치동 명강사들의 10인 10색 관리법>에 참여했습니다.