어느덧 중등 수학 교과의 마지막 단계인 3학년 2학기 과정을 소개해드리게 되었습니다. 지금까지 칼럼을 써오면서 입시수학에서 꼭 필요한 핵심만을 잘 정리해 보여드리겠다는 일념 하에 중요한 내용을 차곡차곡 정리해서 보여드렸던 것 같아요. 

 

이번 칼럼을 앞두고는 그동안 써왔던 원고를 차분히 읽어보면서 ‘와, 이대로만 한다면 정말 중등수학을 잘 다질 수 있겠다.’라는 생각을 해보았습니다. 한편으로는 지면의 한계로 인해 이보다 더 세세한 이야기를 나눌 수 없음에 아쉬웠구요. (그 세세한 끝을 다 보여드리려면... 책이 나와도 몇 권은 나와야 하지 싶어요. 하하) 
구슬이 서말이라도 꿰어야 보배라는 말처럼, 좋은 조언이 있더라도 꾸준한 실천이 있어야 빛이 나겠지요? 언제나 그렇듯 실천이 가장 어려운 일이지요. 우리 학부모님들은 칼럼에서 읽으신대로 실천을 잘 하고 계시리라 생각합니다. 

 

오늘은 중 3-2 내용을 짚어보면서 중등 마지막 수학 교과는 어떤 측면에서 중요하며 향후 어떤 후속 과정과 긴밀하게 연결되는지, 3-2의 기하, 통계 파트는 어떻게 공부하는 것이 좋을지에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 언제나와 마찬가지로 오늘 설명드릴 중3-2의 교과과정 표부터 보여드리도록 하겠습니다. 
        

 

 

 

뭔가 너무 단순한 감이 없잖아 있지요? 다른 학기에서는 대단원명만 하더라도 4~5개에 이르는데 3-2는 대단원이 3개에 불과합니다. 게다가 각 단원에서 다루고 있는 내용을 좀 더 자세히 들여다보면 이전에 중등 기하에서 학습했던 내용과 연계가 강하다. 라고 할 수 있는 단원은 [원] 밖에 없습니다. 그 외에는 초견이나 다름없는 내용들이지요. 
당장에 중2-2에서만 하더라도 본격적인 내용에 들어가기에 앞서 긴장을 엄청 하고 들어가야만 할 정도로 내용상의 방대함, 높은 난이도 등으로 인하여 설명할 것이 차고 넘쳤는데, 3-2는 그보다는 훨씬 가벼운 마음으로 접근하셔도 좋을 듯 합니다. 한 단원씩 포인트를 짚어가며 설명드리도록 하겠습니다. 

 

 

 

 

 

삼각비 - 중등에서 잘 다져두면 고등에서 보상받아요

 

수학 과정의 특성 상, 처음 등장하는 내용일수록 생소한 개념을 받아들이고 기본을 닦는 것에 집중해야 합니다. 교과에서도 이런 점을 충분히 고려하여 내용을 구성하고 있습니다. 
그런 의미에서 첫 번째 단원인 [삼각비]는 매우 기초에 충실한 단원이라고 할 수 있습니다. 

초중등을 망라하여 그야말로 ‘처음’ 등장하는 삼각비이니만큼 삼각비가 어떤 약속에서 비롯된 개념인지, 용어는 어떻게 사용하는지, 삼각비를 쉽게 이해하고 삼각비 사이의 관계를 이해하는 것에 초점이 맞춰져 있습니다. 여기서 좀 더 나아간다면 고등의 삼각함수와 직결이 되겠지요. 하지만 한 번에 그렇게 계통으로 쭉 이어간다면 아이들이 생소한 개념인지라 소화하기에 어려울 거예요. 그래서 사인, 코사인, 탄젠트라는 삼각비의 개념, 그리고 이들 사이의 관계에만 주목을 합니다. ‘이 단원에서는 개념만 제대로 다지도록 해주겠어!’라며 아주 명확하게 선을 긋고 시작을 하죠. 타 단원과 연계해서 깊이있게 들어가는 융합 문제도 등장하기 어렵습니다. 삼각비이니만큼 비율에 관계된 닮음 기초와 살짝 연계가 있는 정도예요. 

 

그렇다고 기본만 다지면서 이 과정을 훌쩍 넘겨버리기에는 아쉬움이 들기는 합니다. 이 단원과 연계된 내용은 고2에서 학습하는 수1이라는 과목에서 [삼각함수]라는 이름을 붙여서 꽤 난이도가 높게 화려한 등장을 하거든요. 그 과정에서는 삼각함수라는 이름에 걸맞게 삼각함수의 그래프에 대한 이해와 더불어 삼각방정식, 삼각부등식을 풀이할 수 있는 것을 요구합니다. ‘이미 중3-2에서 기초는 다 배웠잖아?’하면서 새로운 내용을 쏟아내는데, 아주아주 예전에 3-2의 삼각비만 가볍게 맛본 상태에서는 이미 기억이 희미할 수 밖에 없겠지요. 약한 자극이 가해진 상태에서 오랜 시간이 지나게 되면 그 다음 내용을 받아들일 수 있는 기반이 없을 수 밖에요. 그렇기 때문에 저는 되도록 아래와 같은 학습법을 추천드립니다. 

 

 

 

■ 삼각비의 값을 무턱대고 외우는 것, 즉, 특수각의 삼각비 표만 보면서 그걸 좔좔 외우는 것은 ‘나는 이번 문제집에서만 삼각비를 잘 풀면되고, 몇 달 후엔 남김없이 까먹겠다.’라는 다짐과도 같아요. 가성비가 매우 떨어지는 방법이죠. 그런데도 수많은 학생들은 이 방법에서 벗어나지 못하고 그저 외우는 것에만 집중하고 있어요. 되도록 삼각비의 값이 변 사이의 관계에서 비롯된다는 것을 기억하는 것이 좋아요. 

 

■ 좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름이 1인 원을 그려서 삼각비의 값의 변화를 보도록 하는 방법은 모든 교과서 및 문제집에 등장하는 방법이지만 대부분의 학생들은 이 방식이 어렵고 복잡해보여서 대충 훑고 넘어가는 경향이 있어요. 사실은 이 방법을 통해서 삼각함수가 자연스럽게 이해될 수 있음에도 불구하구요. 삼각비의 값의 변화의 추이를 보기 위한 가장 빠르고 쉬운 방법이니만큼 꼭 이 방법을 익힐 수 있도록 해주세요.  

 

■ 시간적인 여유가 허락한다면 90도까지의 특수각의 삼각비의 값만 외우지 말고 360도까지각 삼각비의 변화 추이를 살펴보면서 삼각비가 어떻게 변화하는지에 대해 이해하도록 합니다. 이것이 주기함수인 삼각함수를 이해하게 되는 단초가 되거든요. 

 

■ 고등에서 등장하는 사인법칙, 제1코사인법칙과 제2코사인법칙은 증명하기 어려운 공식이 아닙니다. 원에 내접하는 삼각형과 원주각의 성질, 코사인법칙을 이용한 변의 길이의 측정 등만 이해한다면 쉽게 유도할 수 있고, 쓰임새도 매우 높은 공식이지요. 이 정도는 익혀두는 것이 좋습니다. 고등에서 나오는 내용을 미리 당겨서 중등 문제를 쉽게 해결하자는 차원이 아니예요. 실제 중등에서는 나오지 않는 공식이지만 중등에서 이 정도까지를 연계해서 학습했을 때 고등 삼각함수 과정이 아주 자연스럽게 연결되는 효과를 누릴 수 있습니다. 

 

 

 

 

원의 성질 - 대치동에서 집중하는 데는 이유가 있습니다

 

삼각비는 이 정도만 하더라도 아주 충분합니다. 정말 제대로 채웠다. 하는 안정감이 들지요. 하지만 두 번째 단원인 [원]의 경우에는 조금 이야기가 달라집니다. 원과 원주각, 그 자체는 전혀 어렵지 않습니다. 원주각이 아무리 어려운 곳에 숨어있다고 해봐야 그 크기는 같은 (또는 합동인) 원의 중심각의 절반이라는 사실에는 변함이 없으니까요. 복잡하게 얽혀있는 그림에서 원주각을 찾아내는 것이 까다로울 뿐, 내용상으로는 어려운 것이 전혀 없습니다. 그리고 이야기가 나왔으니 더 해보자면, 이미 원주각도 중2-2에서 학습한 적이 있습니다. 바로 중2-2의 삼각형의 외심에서 똑같은 내용을 [원주각]이라는 단어만 쏙 빼놓고 했던 것이죠. 

 

그럼에도 불구하고 까먹은 학생들이 분명... 많을 것이기에... (제 경험 상 2-2를 학습한 뒤 몇 달 지나지 않아 보통의 학생들 중 절반 이상이 외심과 내심의 의미 [외심 - 변의 수직이등분선의 교점, 내심 - 각의 이등분선의 교점]를 까먹거나 반대로 기억하는 등의 오류를 범합니다.) 3-2에서 이런 학생들을 배려하여! 새로 처음부터 친절히 알려주고 있다고 생각합니다. 

 

이렇듯 중등 수학은 은근히 친절한 구석이 많은 것처럼 보이지만!! 모든 것을 하나부터 열까지 다 짚어줄 수는 없어요. 우리가 중1-2, 2-2를 통해서 원에 대해 학습한 내용이 은근슬쩍 많은데 그 많은 내용을 처음부터 되짚어 알려주기란 불가능하지요.  

 

호와 현, 원과 접선의 관계, 원 외부에서 접선을 그었을 때, 원 위의 한점에서 접선을 그었을 때, 원 중심에서 현을 수직이등분하는 선을 그리는 것 등 여러 이야기들이 3-2의 원에 [아주 당연한 기초 내용]으로 등장하게 됩니다. 그리고 이를 토대로 새로운 내용을 이끌어 내지요. 원에 내접하는 사각형의 성질, 내각의 대각 (내대각이라고 줄여서 부릅니다.) 접선과 현이 이루는 각의 성질 (줄여서 접현각이라고 부릅니다.) 여러 개의 점이 한 원 위에 존재할 경우의 조건 등등... 보통은 원주각으로 시작해서 이전에 학습했던 내용으로 살을 붙여 이런 내용들까지 쭉쭉 뻗어나갑니다. 

 

 

 

그리고 이제는 교육과정에서 제외된 [원과 비례]! 이 부분은 3-2의 원과 2-2의 닮음의 관계를 이용해서 수많은 정리를 이끌어낼 수 있는 그야말로 중3-2의 핵심과도 같은 과정이지만, 교과에서 쏙 빠져버렸어요. 지난 칼럼(Click)을 보신 분들이라면 아시겠지만, 중2-2의 닮음은 중등 기하 전체를 통틀어서 꽃중의 꽃이라고 할 수 있는 가장 중요한 부분이예요. 얼마든지 깊이를 더하면서 확장할 수 있는 여지가 큰, 심화의 여지가 매우 높은 단원이지요. 그런데 이 단원이 원과 결부가 된다고 생각해보세요. 원이 얼마나 어려워질 수 있을지, 감이 오시나요? 그래서인지 공식적으로 교과에서는 원과 비례 파트를 다루고 있지는 않아요. 하지만 안나온다고 넘어가면 고등과정에서 난감한 상황에 봉착하게 됩니다. 

 

당장에 고등 수(하)를 하게 된다, 원의 방정식 연습문제들을 풀다가 [엄마, 방멱정리가 뭐야? 나는 원과 비례가 뭔지 몰라, 배운적이 없다고 ㅠㅠ] 라는 하소연을 하게 됩니다. 아이의 이런 반응을 보게 된다면 그럴 리 없다, 뻔히 고등에서 문제해결의 핵심 아이디어로 사용될 정도로 툭툭 나오는거라면 중등에서 안했을 리가 없다고 생각하시는 학부모님들도 많으세요. 아이들도 자신의 기억을 믿지 못하니 어쩔 수 없이 대충 해설을 외우는 웃픈 경우도 쉽게 발생합니다. 초등부터 고등수학까지 가르치는 선생님 입장에서는 늘 보는 광경이지요. 

 
다시 돌아와서. 원과 비례는 공식적으로 교과에는 등장하지 않지만, 별도로 내용을 찾아서라도 꼭 학습해야 하는 내용이 분명합니다. 제가 유튜브에서도 몇 번 말씀을 드렸지만, ‘체계적으로 정리만 해주지 않았을 뿐, 2-2에서 이미 닮음을 알려줬고, 3-2에서 원을 알려줬으면 고등에서는 이것을 융합해서 쓸 줄 알아야 하지 않겠나?’ 라는 생각인 것 같아요. 이 생각이 저만의 뇌피셜은 아닌 것이, 예전에 원과 비례가 별도 단원으로 정리가 되어 있었던 시절, 그때 정리되어 있던 공식들이 고등 수학 해설지에는 그야말로 [갑툭튀]로 버젓이 등장하거든요. 방멱정리라는 단어를 쓰지 않는다 하더라도, 원과 직선이 만날때의 비례 관계를 이해하지 못한다면, 그래서 이끌어낼 수 없다면 해설지를 봐도 깜깜이가 되는 경우가 많아요. 해설을 봤는데도 이해를 못한다. 라면 그 다음은 어떤 수순일지 상상이 되시지요?

 

아주 자연~스럽게! 그 단원을 포기하고 패스하려고 합니다. 뿌리를 뽑아야 하는데 그 뿌리의 끝이 어딘지 감을 못잡겠으니까요. 뭔가 해보려고 하는데 내가 모르는게 어디서부터 어디까지인지 알 수 없는 그 막막함을 아이들은 잘 견디지 못합니다. 비단 내 아이만의 이야기가 아니예요. 제가 가르치는 아이들의 대부분이 처음에는 그러합니다. 그래서 고등에서 원의 방정식을 내포하고 있는 도형의 방정식이 마의 단원이라고 불리는 것이기도 합니다. 다시 말씀드리지만 중등에서의 원의 학습이 교과 이상을 상회해야 합니다. 반드시 [원과 비례] 파트를 익혀야 하고, 최소한 방멱정리에 대한 증명에 대해서는 밝게 이해해야 하며, 이와 관련된 문제들을 익히는 것이 좋습니다. 

 

 

 

참고로 최상위수학이라는 책에서는 이런 부분을 염두에 두고 책 말미에 부록으로 [경시와 수능에 필수적인 도형]이라는 주제로 중등 기하 내용 중 교과 내용 심화 주제를 다루고 있습니다. 물론 원과 비례에 대한 내용 및 문제들도 다양하게 수록하고 있구요. 개인적으로는 이 부록만큼은 중등기하를 정리함에 있어서 꼭 한번은 경험하는 것을 권해드립니다. 
괜히 [수능에 필수적인 도형]이라는 이름을 붙인 것이 아니라는 생각을 할 정도로 고등수학에서의 상위권을 점하기 위해서는 이 정도는 꼭 짚어야 한다! 는 파트만 잘 정리되어 있습니다.

 

좀 더 욕심을 부린다면 개정 전 수학 교재를 구해서 3-2의 원과 비례 파트를 좀 더 많이 풀어보기를 권합니다. 굳이 경시를 할 목적이 아니라 하더라도 수능에서의 융합문제에서 원은 매우 좋은 재료가 되기 때문에 중등기하 마무리를 할 때 꼭 위와 같은 노력을 기울여 보는 것이 좋습니다. 실제로 3-2의 교과과정 삼각비, 원만으로는 매우 가벼운 수준이기에 이런 노력을 쏟는다 하더라도 2-2의 전체 과정 학습에 비할 바가 아닙니다. 

 

대치동의 수 많은 유명 학원들에서, 기하 전문 특강에서 삼각비와 원을 위와 같은 내용까지 진행하지 않는 곳은 없을 것이라 생각합니다. 반드시 학습해야 할, 꼭 필요한 내용 위주로 가장 효율적인 커리큘럼만이 살아남는 대치동에서 이렇게 진행하는데는 이유가 있지 않을까요? 

 

 

 

 

통계 - 비로소 숨 좀 쉴 수 있는 단원

마지막으로 세 번째 단원인 통계 파트는 씨익 웃으면서 할 수 있는 단원입니다. 비로소 숨쉬는 단원에 당도한 것이지요 ^^대푯값인 평균, 중앙값, 최빈값에 대한 이해, (산술)평균과 편차, 분산, 표준편차의 의미와 구하는 방식, 그리고 산포도에 대한 내용이 전부입니다. 이 내용은 후에 고등에서 기본부터 다시 찬찬히 다루어지게 되므로 중등과정에서 굳이 심화까지 풀면서 힘을 주지 않아도 괜찮습니다. 기본 개념에 충실하게 학습하되 한 집단에서 어떤 대푯값이 가장 적정한 의미가 있는지, 표준편차가 커지면 어떤 변화가 일어나는지, 산포도를 가지고 통계적 추정을 하는 것의 의미는 무엇인지 등의 전체적인 맥락만 잘 잡으면 됩니다. 실제로 중3-2에서 이 과정에서 힘을 준다 하더라도 이후 고등 확률과 통계 과정까지 아주아주 긴 시간이 소요되므로 (그리고 지금은 선택과목이기에 초이스를 하지 않을 확률도 있기에) 그 과정에 당도했을 때는 기억이 거의 미미한 수준일 것입니다. 너무 어려운 문제까지 힘을 빼지는 말아주세요.  

 

 

 

 

 

지금까지 중등 3-2 과정 중 핵심이 될 내용만을 콕콕 골라내어 최대한 이해하시기 편하도록 풀어서 설명드렸습니다. 이제 남은 것은 무엇일까요?우리 학부모님들께서 이미 답을 알고 계시지요? 우리 아이들이 이 방식으로 학습에 임할 수 있게 학부모님들께서 액션을 취해주셔야 합니다. 지난 칼럼에서 말씀드린 것처럼, 우리 아이들에게 필요한 것은 제대로 된 정보에서 비롯된 가장 효율적인 가이드, 그리고 그 가이드를 따라가되 급하지 않게 제대로 익히는 시간의 확보입니다. 제가 그걸 이렇게 표현했었죠. 익숙해짐, 제대로 젖어듬의 시간이 필요하다구요. 

 

제가 운영하는 오픈채팅방에 계신 어떤 학부모님께서 이런 문자를 보내주셨습니다. 선생님의 책도 하이라이트에 밑줄에 몇 번을 그렇게 반복해서 읽었지만. 선생님의 칼럼이 나올 때마다, 오픈 채팅방에 학습법을 공유해주실 때마다, 그 모든 내용을 프린트해서 하이라이터로 표시하며 읽고, 중요한건 별도로 또 메모하고, 그것들을 내 아이에게 온전히 적용해보려 노력하고 있다. 뜬구름 잡듯 일반적인 방법이 아니라 현실적인 방법이어서 고맙다. 방법만 알려주는게 아니라 그걸 엄마표로 하면서 지칠까봐 마인드까지 잡아주는 잔소리도 고맙다. 교육정보는 넘치지만 그 안에서 가장 현실적인 방법을 알려주셔서 정말 감사하다. 라고요.

 

그래서 제가 바쁜 와중에도 이렇게 글과 강연으로 하는 소통을 멈출수가 없나봐요. 우리 학부모님들의 마음을 너무 깊이 이해하기에. 우리 아이가 올바르게 단단하게 나아가기 위한 더 좋은 방법을 알려드리고 싶어서요.  수 많은 아이들을 지도하고 많은 컨텐츠와 커리큘럼을 만들어왔지만, 그 많은 필드에서의 경험이 있다 하더라도 그 중에서도 가장 엑기스가 되는 정수를 모으고 모아, 꽉 눌러담는 것은 결코 쉬운 일이 아니었습니다. 여러 날 고민한 노력이 잘 전달되었으면 하는 바램입니다. 이렇게 ‘가장 올바르면서도 현실적인 중등 수학 학습법’에 대한 칼럼을 마무리 지어 봅니다. 

 

 

이상, 대치동 손대장, 손아름이었습니다!

 

 

 

 

 

손아름 원장의 <초등부터 고등까지 성공하는 수학 공부법> 시리즈

 

저자
손아름 원장

 

서울대학교를 졸업하고 현재 대치동 에스온수리영재아카데미 대표로 있습니다. 고등에서부터 강의를 시작했지만 학생들에게는 초등때부터의 제대로 된 교육이 절실하다는 생각에 초중등 대상 수업으로 뛰어들어 현재까지 10여년 동안 대치동에서 수학강의를 이어가고 있습니다. 강의 뿐 아니라 학부모 대상 입시 설명회, 수학교재 집필 등을 하며 입시와 교육의 최전선에서 활동하고 있습니다.

MBC <공부가 머니?>에 영재교육 전문가로 출연했고 <대치동 초등 로드맵> <수학에 심장을 달다>집필, <대치동 명강사들의 10인 10색 관리법>에 참여했습니다. 

 

▶ 유튜브 [대치동 손대장]

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